[Maths] Prob de math... hum corsé

J'ai une amie qui a un exo qui je dois avouer moi non plus j'y comprends rien... Donc si quelqu'un pourrait nous eclaircire.....

On place un point P quelconque à l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC. On veut démontrer le théroème suivant: la somme des distances de P aux cotés du triangle est constante et égale à la hauteur du triangle.

Pour démontrer cela, on peut considérer les points Q,R et S, pieds des hauteurs issues de P dans les triangles APB, BPC et CPA.

On utilisera alors la hauteur [AH] du triangle ABC.

Utilisation possible:
Répartition de la populationactive d'un pays suivant les trois secteurs : primaire, secondaire, tertiaire, repésentée sur un graphique triangulaire, où l'aire de chacun des triangles est proportionnelle à la répartition en pourcentage des secteurs.

Application: Dans un pays 50% de la population active travaille dans le sectaire tertiaire et 30% dans le secteur secondaire. Trouver une méthode simple pour représenter cette répartition dans un triangle équilatéral de 10cm de hauteur.


Voilà si quelqu'un connaitrais la réponse à ça... Bah ce serais pas de refus (Si vous voulez les dessins qui vont avec => msn ^^).

Merci , j'éspère, d'avance.

J'ai trouvé une démonstration pas trop compliquée. En fait les blablas de la fin aident rudement !

Première question : somme des distances de P aux côtés = longueur de la hauteur

Idée de base : utiliser les aires des triangles

On considère les triangles APB, APC et BPC. L'aire de ces triangles vaut respectivement :
aire1 = QP x AB / 2 pour APB
aire2 = RP x AC / 2 pour APC
aire3 = SP x BC / 2 pour BPC

or AB = AC = BC car ABC est un triangle équilatéral
donc :
aire1 = QP x AB / 2
aire2 = RP x AB / 2
aire3 = SP x AB / 2
ce qui donne : aire1 + aire2 + aire3 = (QP + RP + SP) x AB / 2

Or aire1 + aire2 + aire3 = aire de ABC car les trois triangles réunis remplissent tout l'intérieur du triangle ABC et ne se recouvrent pas.
On en déduit :
aire1 + aire2 + aire3 = (QP + RP + SP) x AB / 2 = aire de ABC = AH x AB / 2

En simplifiant par AB / 2 on obtient :
QP + RP + SP = AH


Application

Là j'ai pas trouvé de truc super simple... La géométrie n'est pas mon truc
Et puis les explications sont assez fumeuses puisque sans dessin c'est dur à expliquer.

Il faut représenter les pourcentages 50 %, 30 % et 20 %.

Étape 1 : tracer la droite (D) parallèle à BC passant par le milieu de AH (50 % = 1/2 donc le milieu). P sera sur (D), puisque la distance entre BC et (D) est égale à 50 % de AH.

Étape 2 : recommencer avec un autre sommet (et donc une autre hauteur). Cette fois il faut que la parallèle passe par un point situé aux 20 % de la hauteur (avant c'était 50 %). Il faut pour cela diviser la hauteur en cinquièmes, et faire passer la parallèle au premier cinquième (20 / 100 = 1 / 5). On appelle (D') la nouvelle parallèle.

Étape 3 : le point P est situé au point d'intersection de (D) et (D').

Comme les aires des triangles sont proportionnelles aux distances de P aux côtés, et que ces distances respectent les proportions 50 %, 20 %, et 100 - 50 - 20 = 30 %, alors on a répondu à la question.


Note : on n'a pas besoin de tracer de troisième droite puisqu'elle passerait forcément par le point P elle aussi.

Note 2 : peu importent les pourcentages choisis pour tracer les deux droites (ici 50 % et 20 %), seulement 50 % et 20 % sont plus faciles à représenter : 1/2 et 1/5, alors que 30 % = 3/10 est plus casse-pieds à faire.

Note 3 : si tu ne sais pas diviser un segment en 5 parties égales, n'hésite pas à demander. Ça peut se faire à la règle et au compas, sans mesurer.

Okok je lui dirais... Je pense quelle va faire un ptit tour dire emrci quand même ^^

Oua merci pour l'aide c'est sympas jt perdu moi